如何证明 ln(x) =< x - 1,来自 Gibbs

证明如下:

that’s right, so:
f(x) = x-1 - Inx .

f’‘(x) = 1 - 1/x = 0 ==> x=1. that should be either maximus or minimum f(1) = 0.

now if we take the second derivative:
f’‘(x) = 1/x^2
which means the derivative is increasing constantly and f(1) is the minimum point inthe graph, and hence x-1>=Inx

这个不等式非常重要,能够推导出最大熵。

引用如下一段文字

1)如果一个函数f(x)在某个区间I上有f’‘(x)(即二阶导数)>0恒成立,那么对于区间I上的任意x,y,总有:
f(x)+f(y)≥2f[(x+y)/2],如果总有f’‘(x)<0成立,那么上式的不等号反向。 [2]
几何的直观解释:如果一个函数f(x)在某个区间I上有f’‘(x)(即二阶导数)>0恒成立,那么在区间I上f(x)的图象上的任意两点连出的一条线段,这两点之间的函数图象都在该线段的下方,反之在该线段的上方。
(2)判断函数极大值以及极小值。
结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。当一阶导数等于0,而二阶导数大于0时,为极小值点。当一阶导数等于0,而二阶导数小于0时,为极大值点;当一阶导数和二阶导数都等于0时,为驻点。
(3)函数凹凸性。
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有一阶和二阶导数,那么,
(1)若在(a,b)内f’‘(x)>0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的;
(2)若在(a,b)内f’‘(x)<0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的。

  • +9番茄
  • 385只自习生围观
  • 2018年12月6日 10:54打卡
  • 2 年,5 月前有动静
  • 引用
  • 举报
最近犒劳过的人

免费没广告,线上在线自习室晚自习。支持番茄工作法、四象限、打卡、作业清单、作业辅导、作业交流、作业跟踪、作业计划

行恒 © 行恒 2013